2. Zweifaktorielle ANOVA in einem Split-Plot-Design

Derselbe Versuch als Split-Plot: wenn ein Behandlungsfaktor auf größeren Einheiten liegt

Author
Zugehörigkeit

Dr. Paul Schmidt

BioMath GmbH

Last updated

8. Juni 2026

Um alle in diesem Kapitel verwendeten Pakete zu installieren und zu laden, führe folgenden Code aus:

for (pkg in c("desplot", "emmeans", "ggtext", "here", "lme4", "lmerTest",
              "MetBrewer", "multcomp", "multcompView", "tidyverse")) {
  if (!require(pkg, character.only = TRUE)) install.packages(pkg)
}

library(desplot)
library(emmeans)
library(ggtext)
library(here)
library(lme4)
library(lmerTest)
library(MetBrewer)
library(multcomp)
library(multcompView)
library(tidyverse)

Von einem RCBD zu einem Split-Plot

Im vorherigen Kapitel haben wir einen zweifaktoriellen Versuch analysiert - 4 Genotypen gekreuzt mit 6 Stickstoffstufen - angelegt als randomisierte vollständige Blockanlage. Dort wurden alle 24 Behandlungskombinationen innerhalb jedes Blocks frisch randomisiert, sodass jede Parzelle eine unabhängige Versuchseinheit war.

In der Praxis ist diese vollständige Randomisierung nicht immer möglich. Manche Behandlungsfaktoren lassen sich schlicht leichter auf große Einheiten als auf kleine anwenden. Stickstoffdüngung, Bewässerung, Bodenbearbeitung oder Aussaatzeitpunkt sind typische Beispiele: Sie parzellenweise zu verwalten ist unpraktisch, also werden sie auf größeren Streifen angewendet, und ein zweiter Faktor wird dann innerhalb dieser Streifen variiert. Genau für diese Situation ist ein Split-Plot-Design gemacht - und es ist das Design hinter den Daten dieses Kapitels.

Was ist ein Split-Plot-Design?

Ein Split-Plot-Design hat zwei Ebenen von Versuchseinheiten und damit zwei Randomisierungen:

  • Großparzellen (whole plots): große Einheiten, denen die Stufen eines Faktors (des Großparzellen-Faktors) zufällig zugewiesen werden. In unserem Versuch werden die sechs Stickstoffstufen auf Großparzellen angewendet.
  • Unterparzellen (subplots): jede Großparzelle wird in kleinere Einheiten unterteilt, denen die Stufen des zweiten Faktors (des Unterparzellen-Faktors) zufällig zugewiesen werden. Hier werden die vier Genotypen innerhalb jeder Großparzelle randomisiert.

Konkret hat unser Versuch 3 Blöcke, und innerhalb jedes Blocks liegen die 6 Stickstoffstufen auf 6 Großparzellen (insgesamt 18 Großparzellen). Jede Großparzelle wird dann in 4 Unterparzellen aufgeteilt, eine je Genotyp - 72 Parzellen, dieselben 72 Ertragswerte wie im vorherigen Kapitel, aber gemäß einer anderen Randomisierung angeordnet.

Warum ein gemischtes Modell?

Die beiden Randomisierungen erzeugen zwei Quellen zufälliger Variation: eine zwischen Großparzellen und eine zwischen Unterparzellen innerhalb einer Großparzelle. Um die Daten korrekt zu analysieren, muss das Modell dies widerspiegeln, indem es einen Zufallseffekt für die Großparzellen enthält. Das ist unser erstes praktisches gemischtes Modell: Wir fitten es mit lmer() aus dem Paket {lmerTest} und geben den Großparzellen-Zufallseffekt als (1 | rep:mainplot) an.

TippHintergrundlektüre

Für den theoretischen Hintergrund zu gemischten Modellen - warum wir manche Effekte als zufällig behandeln, was BLUEs und BLUPs sind und wie Freiheitsgrade approximiert werden - siehe das Anhang-Kapitel Lineare gemischte Modelle.

Daten

Dies ist derselbe Versuch wie im vorherigen Kapitel, erneut aus Gomez und Gomez (1984): ein Ertragsversuch (kg/ha), der 4 Genotypen (G) mit 6 Stickstoffstufen (N) kreuzt. Der einzige Unterschied ist die Versuchsanlage - und dementsprechend eine zusätzliche Spalte mainplot, die die 18 Großparzellen identifiziert.

Hinweis

Die yield-Werte in diesem Datensatz sind identisch mit denen im vorherigen Kapitel; nur die räumliche Anordnung (und damit die mainplot-Spalte) unterscheidet sich. Das erlaubt uns, an genau denselben Zahlen zu sehen, wie das angenommene Design das Modell und die Inferenz verändert.

Import

dat <- read_csv(here("data", "GomezGomez1984.csv"))
dat
Rows: 72 Columns: 7
── Column specification ────────────────────────────────────────────────────────
Delimiter: ","
chr (4): rep, mainplot, G, N
dbl (3): yield, row, col

ℹ Use `spec()` to retrieve the full column specification for this data.
ℹ Specify the column types or set `show_col_types = FALSE` to quiet this message.
# A tibble: 72 × 7
   yield   row   col rep   mainplot G     N     
   <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <chr>    <chr> <chr> 
 1  4520     4     1 rep1  mp01     Simba Goomba
 2  5598     2     2 rep1  mp02     Simba Koopa 
 3  6192     1     3 rep1  mp03     Simba Toad  
 4  8542     2     4 rep1  mp04     Simba Peach 
 5  5806     2     5 rep1  mp05     Simba Diddy 
 6  7470     1     6 rep1  mp06     Simba Yoshi 
 7  4034     2     1 rep1  mp01     Nala  Goomba
 8  6682     4     2 rep1  mp02     Nala  Koopa 
 9  6869     3     3 rep1  mp03     Nala  Toad  
10  6318     4     4 rep1  mp04     Nala  Peach 
# ℹ 62 more rows

Der Datensatz enthält:

  • N: Sechs Stickstoffstufen - der Großparzellen-Faktor
  • G: Vier Genotypen - der Unterparzellen-Faktor
  • rep: Drei vollständige Blöcke
  • mainplot: Die 18 Großparzellen (6 je Block)
  • yield: Ernteertrag in kg/ha
  • row und col: Feldparzellenkoordinaten für die Visualisierung mit desplot

Format

Wir codieren den Block, die Großparzellen-Kennung und beide Behandlungsfaktoren als Faktoren:

dat <- dat %>%
  mutate(across(c(rep, mainplot, G, N), ~ as.factor(.x)))

dat
# A tibble: 72 × 7
   yield   row   col rep   mainplot G     N     
   <dbl> <dbl> <dbl> <fct> <fct>    <fct> <fct> 
 1  4520     4     1 rep1  mp01     Simba Goomba
 2  5598     2     2 rep1  mp02     Simba Koopa 
 3  6192     1     3 rep1  mp03     Simba Toad  
 4  8542     2     4 rep1  mp04     Simba Peach 
 5  5806     2     5 rep1  mp05     Simba Diddy 
 6  7470     1     6 rep1  mp06     Simba Yoshi 
 7  4034     2     1 rep1  mp01     Nala  Goomba
 8  6682     4     2 rep1  mp02     Nala  Koopa 
 9  6869     3     3 rep1  mp03     Nala  Toad  
10  6318     4     4 rep1  mp04     Nala  Peach 
# ℹ 62 more rows

Erkunden

Wie zuvor beginnen wir mit einfaktoriellen Zusammenfassungen des Ertrags:

# Zusammenfassung je Stickstoffstufe
dat %>%
  group_by(N) %>%
  summarize(
    count = n(),
    mean_yield = mean(yield),
    sd_yield = sd(yield)
  ) %>%
  arrange(desc(mean_yield))
# A tibble: 6 × 4
  N      count mean_yield sd_yield
  <fct>  <int>      <dbl>    <dbl>
1 Diddy     12      5866.     832.
2 Toad      12      5864.    1434.
3 Yoshi     12      5812     2349.
4 Peach     12      5797.    2660.
5 Koopa     12      5478.     657.
6 Goomba    12      4054.     672.
# Zusammenfassung je Genotyp
dat %>%
  group_by(G) %>%
  summarize(
    count = n(),
    mean_yield = mean(yield),
    sd_yield = sd(yield)
  ) %>%
  arrange(desc(mean_yield))
# A tibble: 4 × 4
  G     count mean_yield sd_yield
  <fct> <int>      <dbl>    <dbl>
1 Simba    18      6554.    1475.
2 Nala     18      6156.    1078.
3 Timon    18      5563.    1269.
4 Pumba    18      3642.    1434.

Da dies dieselben Ertragswerte wie zuvor sind, stimmen die Zusammenfassungen mit denen im vorherigen Kapitel überein. Wir definieren wieder eine feste Palette für die sechs Stickstoffstufen und tragen den Ertrag gegen Stickstoff auf, ein Panel je Genotyp:

Ncolors <- met.brewer("VanGogh2", 6) %>%
  as.vector() %>%
  set_names(levels(dat$N))
ggplot(data = dat) +
  aes(y = yield, x = N, color = N) +
  facet_wrap(~G, labeller = label_both) +
  stat_summary(
    fun = mean,
    colour = "grey",
    geom = "line",
    linetype = "dotted",
    group = 1
  ) +
  geom_point() +
  scale_x_discrete(name = "Stickstoff") +
  scale_y_continuous(
    name = "Ertrag",
    limits = c(0, NA),
    expand = expansion(mult = c(0, 0.1))
  ) +
  scale_color_manual(values = Ncolors, guide = "none") +
  theme_bw() +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1, vjust = 1))

Beim Feld-Layout wird die Split-Plot-Struktur sichtbar. Wir zeichnen zunächst das übliche Layout (Genotyp-Beschriftungen nach Stickstoffstufe gefärbt) und heben dann die Großparzellen hervor:

desplot(
  data = dat,
  form = rep ~ col + row | rep, # ein Panel je Block
  col.regions = c("white", "grey95", "grey90"),
  text = G,            # Genotypnamen je Parzelle
  cex = 0.8,           # Genotypnamen: Schriftgröße
  shorten = "abb",     # Genotypnamen: abkürzen
  col = N,             # Genotypnamen nach Stickstoffstufe färben
  col.text = Ncolors,  # die eigenen Stickstofffarben verwenden
  out1 = col, out1.gpar = list(col = "darkgrey"), # Linien zwischen Spalten
  out2 = row, out2.gpar = list(col = "darkgrey"), # Linien zwischen Reihen
  main = "Feld-Layout",
  show.key = TRUE,
  key.cex = 0.7
)

# eine eigene Farbe je Großparzelle (18 insgesamt)
mainplotcolors <- c(met.brewer("VanGogh3", 6),
                    met.brewer("Hokusai2", 6),
                    met.brewer("OKeeffe2", 6)) %>%
  as.vector() %>%
  set_names(levels(dat$mainplot))

desplot(
  data = dat,
  form = mainplot ~ col + row | rep, # Farbe je Großparzelle, ein Panel je Block
  col.regions = mainplotcolors,
  out1 = col, out1.gpar = list(col = "darkgrey"),
  out2 = row, out2.gpar = list(col = "darkgrey"),
  main = "Großparzellen",
  show.key = FALSE
)

Das zweite Layout macht das Design explizit: Jeder gefärbte Block von Zellen ist eine Großparzelle, trägt eine einzige Stickstoffstufe und ist intern in die vier Genotyp-Unterparzellen aufgeteilt. Die Stickstoffstufen werden zwischen den Großparzellen randomisiert, die Genotypen innerhalb von ihnen.

Modell

Der Behandlungsteil des Modells ist derselbe wie im RCBD-Kapitel: die beiden Behandlungsfaktoren G und N als Haupteffekte plus ihre Interaktion G:N und der Blockeffekt rep. Neu ist der Zufallseffekt für die Großparzellen, (1 | rep:mainplot), der die 18 Großparzellen als zusätzliche Randomisierungsebene repräsentiert:

mod <- lmer(yield ~ G + N + G:N + rep + (1 | rep:mainplot),
            data = dat)

Die Syntax (1 | rep:mainplot) weist lmer() an, die Kombination von rep und mainplot (d.h. die 18 eindeutigen Großparzellen) als Zufallseffekt zu behandeln. Das ist der einzige strukturelle Unterschied zum RCBD-Modell lm(yield ~ N + G + N:G + rep) des vorherigen Kapitels.

An dieser Stelle (d.h. nach dem Modell-Fit und vor der ANOVA-Interpretation) sollte man prüfen, ob die Modellannahmen erfüllt sind. Mehr dazu im Anhang A1: Modelldiagnostik.

ANOVA

Für gemischte Modelle verwenden wir eine ANOVA mit Kenward-Roger-Freiheitsgraden, die genauere F-Tests in den für geplante Versuche typischen Situationen mit kleinen Stichproben liefert:

ANOVA <- anova(mod, ddf = "Kenward-Roger")
ANOVA
Type III Analysis of Variance Table with Kenward-Roger's method
      Sum Sq  Mean Sq NumDF DenDF F value    Pr(>F)    
G   89885051 29961684     3    36 85.7416 < 2.2e-16 ***
N   19192886  3838577     5    10 10.9849 0.0008277 ***
rep   683088   341544     2    10  0.9774 0.4095330    
G:N 69378044  4625203    15    36 13.2360 2.078e-10 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Die Interaktion G:N ist statistisch signifikant, genau wie in der RCBD-Analyse. Der lehrreichste Teil dieser Tabelle sind jedoch die Nenner-Freiheitsgrade (DenDF):

  • Der Großparzellen-Faktor N wird gegen nur 10 Nenner-Freiheitsgrade getestet, weil er auf der Ebene der Großparzellen verglichen wird, von denen es wenige gibt.
  • Der Unterparzellen-Faktor G und die Interaktion G:N werden gegen 36 Nenner-Freiheitsgrade getestet, weil sie auf der feineren Unterparzellen-Ebene verglichen werden.

Das ist das Kennzeichen eines Split-Plot-Designs: Der Großparzellen-Faktor wird weniger präzise geschätzt als der Unterparzellen-Faktor und die Interaktion. Wir kommen darauf zurück, wenn wir die beiden Analysen unten vergleichen.

Mittelwertvergleich

Wegen der signifikanten Interaktion vergleichen wir erneut die Stickstoffstufen innerhalb jedes Genotyps über specs = ~ N | G:

mean_comp <- mod %>%
  emmeans(specs = ~ N | G) %>%       # adj. Mittel: Stickstoff innerhalb Genotyp
  cld(adjust = "none", Letters = letters) # kompakte Buchstabendarstellung (CLD)

mean_comp
G = Nala:
 N      emmean  SE   df lower.CL upper.CL .group
 Goomba   4306 366 41.9     3568     5044  a    
 Koopa    5982 366 41.9     5244     6720   b   
 Diddy    6259 366 41.9     5521     6997   b   
 Peach    6540 366 41.9     5803     7278   b   
 Toad     6895 366 41.9     6157     7633   b   
 Yoshi    6951 366 41.9     6213     7688   b   

G = Pumba:
 N      emmean  SE   df lower.CL upper.CL .group
 Peach    1881 366 41.9     1143     2618  a    
 Yoshi    2047 366 41.9     1309     2784  a    
 Toad     3816 366 41.9     3078     4554   b   
 Goomba   4481 366 41.9     3744     5219   b   
 Diddy    4812 366 41.9     4074     5550   b   
 Koopa    4816 366 41.9     4078     5554   b   

G = Simba:
 N      emmean  SE   df lower.CL upper.CL .group
 Goomba   4253 366 41.9     3515     4990  a    
 Koopa    5672 366 41.9     4934     6410   b   
 Diddy    6400 366 41.9     5662     7138   bc  
 Toad     6733 366 41.9     5995     7470    cd 
 Yoshi    7563 366 41.9     6826     8301     d 
 Peach    8701 366 41.9     7963     9438      e

G = Timon:
 N      emmean  SE   df lower.CL upper.CL .group
 Goomba   3177 366 41.9     2440     3915  a    
 Koopa    5443 366 41.9     4705     6180   b   
 Diddy    5994 366 41.9     5256     6732   bc  
 Toad     6014 366 41.9     5276     6752   bc  
 Peach    6065 366 41.9     5328     6803   bc  
 Yoshi    6687 366 41.9     5950     7425    c  

Results are averaged over the levels of: rep 
Degrees-of-freedom method: kenward-roger 
Confidence level used: 0.95 
significance level used: alpha = 0.05 
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
      then we cannot show them to be different.
      But we also did not show them to be the same.

Wie im vorherigen Kapitel bleiben die Vergleiche unadjustiert (adjust = "none", d.h. Fishers LSD); siehe Anhang A4: Multiplizitätskorrekturen für die Alternativen und Anhang A5: Compact Letter Display für die Buchstabendarstellung. Man beachte, dass die Standardfehler nun aus dem gemischten Modell stammen und daher die Split-Plot-Fehlerstruktur korrekt widerspiegeln.

my_caption <- "Jede Facette repräsentiert einen Genotyp. Schwarze Punkte repräsentieren
Rohdaten. Rote Punkte und Fehlerbalken repräsentieren adjustierte Mittel mit 95% Konfidenz-
grenzen je Stickstoff-Genotyp-Kombination. Innerhalb jedes Genotyps unterscheiden sich Mittel,
gefolgt von einem gemeinsamen Buchstaben, nicht signifikant nach Fishers LSD-Test."

ggplot() +
  facet_wrap(~G, labeller = label_both) +
  aes(x = N) +
  # schwarze Punkte für die Rohdaten
  geom_point(
    data = dat,
    aes(y = yield, color = N)
  ) +
  # rote Punkte für die adjustierten Mittel
  geom_point(
    data = mean_comp,
    aes(y = emmean),
    color = "red",
    position = position_nudge(x = 0.2)
  ) +
  # rote Fehlerbalken für die Konfidenzgrenzen der adjustierten Mittel
  geom_errorbar(
    data = mean_comp,
    aes(ymin = lower.CL, ymax = upper.CL),
    color = "red",
    width = 0.1,
    position = position_nudge(x = 0.2)
  ) +
  # rote Buchstaben
  geom_text(
    data = mean_comp,
    aes(y = emmean, label = str_trim(.group)),
    color = "red",
    position = position_nudge(x = 0.35),
    hjust = 0
  ) +
  scale_x_discrete(name = "Stickstoff") +
  scale_y_continuous(
    name = "Ertrag",
    limits = c(0, NA),
    expand = expansion(mult = c(0, 0.1))
  ) +
  scale_color_manual(values = Ncolors, guide = "none") +
  theme_bw() +
  labs(caption = my_caption) +
  theme(
    plot.caption = element_textbox_simple(margin = margin(t = 5)),
    plot.caption.position = "plot",
    axis.text.x = element_text(angle = 45, hjust = 1, vjust = 1)
  )

RCBD vs. Split-Plot: Was hat sich geändert?

Da die Ertragswerte mit denen im vorherigen Kapitel identisch sind, können wir die beiden Analysen direkt vergleichen und den Effekt der Design-Annahme allein isolieren.

  • Die Behandlungsterme sind dieselben. Beide Modelle enthalten G, N, G:N und rep. Die Punktschätzer der Mittel sind im Wesentlichen unverändert.
  • Die Fehlerstruktur unterscheidet sich. Das RCBD-Modell hat einen einzigen Residualfehler (lm()); das Split-Plot-Modell fügt einen zufälligen Großparzellen-Effekt (1 | rep:mainplot) hinzu, der die Variation in ein Großparzellen-Stratum und ein Unterparzellen-Stratum aufteilt.
  • Die Konsequenz ist Präzision. In der RCBD-Analyse wurde der Stickstoff-Haupteffekt gegen den großen Residualfehler getestet (viele Freiheitsgrade). In der Split-Plot-Analyse wird er gegen den Großparzellen-Fehler getestet (nur 10 Freiheitsgrade). Die Evidenz für einen Stickstoffeffekt ist daher hier merklich schwächer - nicht weil sich die Daten geändert haben, sondern weil ein Split-Plot anerkennt, dass Stickstoff nicht unabhängig jeder Parzelle zugewiesen wurde. Umgekehrt werden der Unterparzellen-Faktor G und die Interaktion G:N mit guter Präzision geschätzt.

Die Kernaussage ist, dass das Design die Analyse bestimmt. Einen Split-Plot-Versuch so zu behandeln, als wäre er ein vollständig randomisiertes RCBD, würde die Präzision des Großparzellen-Faktors überschätzen und könnte zu falsch-positiven Schlüssen über ihn führen.

Abschluss

Wir haben nun unser erstes praktisches gemischtes Modell gefittet und gesehen, wie ein Split-Plot-Design Großparzellen- von Unterparzellen-Information trennt. Die Behandlungsstruktur sah genau wie beim zweifaktoriellen RCBD aus, aber ein einziger Zufallseffekt-Term veränderte die Inferenz auf eine Weise, die genau widerspiegelt, wie der Versuch tatsächlich durchgeführt wurde.

HinweisZusammenfassung

  1. Ein Split-Plot-Design hat zwei Ebenen von Versuchseinheiten: Großparzellen (hier: Stickstoff) und Unterparzellen (hier: Genotypen), mit einer eigenen Randomisierung auf jeder Ebene.

  2. Zwei Randomisierungen erfordern ein gemischtes Modell. Die Großparzellen gehen als Zufallseffekt ein: yield ~ G + N + G:N + rep + (1 | rep:mainplot), gefittet mit lmer().

  3. Kenward-Roger-Freiheitsgrade werden für die ANOVA des gemischten Modells verwendet.

  4. Großparzellen-Faktoren werden weniger präzise getestet als Unterparzellen-Faktoren und die Interaktion - sichtbar an den deutlich kleineren Nenner-Freiheitsgraden für N.

  5. Dieselben Daten, anderes Design, andere Inferenz. Verglichen mit der RCBD-Analyse der identischen Erträge spiegelt das Split-Plot die Struktur des Versuchs korrekt wider und verändert die Präzision des Großparzellen-Faktors.

Literatur

Gomez, Kwanchai A, und Arturo A Gomez. 1984. Statistical procedures for agricultural research. 2. Aufl. An International Rice Research Institute book. Nashville, TN: John Wiley & Sons.

Zitat

Mit BibTeX zitieren:
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  author = {{Dr. Paul Schmidt}},
  publisher = {BioMath GmbH},
  title = {2. Zweifaktorielle ANOVA in einem Split-Plot-Design},
  date = {2026-06-08},
  url = {https://biomathcontent.netlify.app/de/content/lin_mod_adv/02_splitplot.html},
  langid = {de}
}
Bitte zitieren Sie diese Arbeit als:
Dr. Paul Schmidt. 2026. “2. Zweifaktorielle ANOVA in einem Split-Plot-Design.” BioMath GmbH. June 8, 2026. https://biomathcontent.netlify.app/de/content/lin_mod_adv/02_splitplot.html.