Um alle in diesem Kapitel verwendeten Pakete zu installieren und zu laden, kann man folgenden Code ausführen:
Wenn man eine Varianzanalyse auf ein lineares Modell anwendet, bietet R tatsächlich drei verschiedene Varianten an, die traditionell als Typ I, Typ II und Typ III bezeichnet werden. Für perfekt balancierte Daten liefern alle drei dieselben Zahlen, weshalb der Unterschied in Einführungskursen oft übergangen wird. Sobald die Daten unbalanciert sind - und reale Experimente enden fast immer unbalanciert, sei es auch nur, weil eine Parzelle verloren ging oder eine Pflanze einging - können die drei Typen für denselben Effekt deutlich unterschiedliche p-Werte liefern. Dieses Kapitel erklärt, was die drei Typen tatsächlich berechnen, zeigt ein kleines Beispiel, in dem die Unterschiede sichtbar werden, und gibt praktische Empfehlungen, welcher Typ zu verwenden ist.
Ein schneller Überblick
Die drei Typen unterscheiden sich darin, wie die Quadratsumme für jeden Term berechnet wird, nicht im zugrunde liegenden Modell. Das Modell wird einmal mit lm() gefittet. Der “Typ” entscheidet lediglich, welche Vergleiche genesteter Modelle verwendet werden, um die Variation den einzelnen Termen zuzuordnen.
| Typ | R-Aufruf | Wie die Quadratsummen berechnet werden | Typischer Einsatz |
|---|---|---|---|
| I (sequenziell) | stats::anova(mod) |
Jeder Term wird auf die vorherigen aufgesetzt, in der Reihenfolge, in der sie in der Formel erscheinen. | Balancierte Daten oder echt hierarchische / genestete Modelle, bei denen die Termreihenfolge eine kausale Abfolge widerspiegelt. |
| II (hierarchisch) | car::Anova(mod, type = "II") |
Jeder Haupteffekt wird für alle anderen Haupteffekte adjustiert, aber nicht für Interaktionen, die ihn enthalten. | Unbalancierte Daten mit ausschließlich Haupteffekten, oder wenn Interaktionen vorhanden, aber nicht von primärem Interesse sind. Empfohlener Standard für die meisten angewandten Analysen (Langsrud 2003). |
| III (marginal) | car::Anova(mod, type = "III") |
Jeder Term wird für alle anderen Terme adjustiert, einschließlich höherer Interaktionen, die ihn enthalten. | Wenn Interaktionen vorhanden sind und Haupteffekte “am Rand” (marginal) getestet werden sollen. Erfordert Summen-Kontraste (sum-to-zero), um sinnvoll zu sein. |
Zwei Punkte sind hervorzuheben, bevor wir uns Daten anschauen. Erstens berechnet stats::anova() immer sequenzielle Quadratsummen vom Typ I - die Funktion hat kein type-Argument, und das Ändern der Reihenfolge der Prädiktoren in der Formel verändert das Ergebnis. Zweitens ist car::Anova() (man beachte das großgeschriebene A) das Standardwerkzeug für Typ II und Typ III und ist für letzteren praktisch unverzichtbar, weil korrekte Typ-III-Tests eine bestimmte Art der Kontrastkodierung benötigen (mehr dazu weiter unten).
Warum Balance eine Rolle spielt
Wenn ein Datensatz balanciert ist - jede Faktorkombination hat dieselbe Anzahl an Beobachtungen - sind die Haupteffekte orthogonal zueinander. Orthogonalität bedeutet, dass die durch Faktor A erklärte Variation sich nicht mit der durch Faktor B erklärten Variation überschneidet, sodass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge man sie zuordnet. Alle drei ANOVA-Typen liefern dieselben Quadratsummen und dieselben p-Werte.
Unbalancierte Daten zerstören diese Orthogonalität. Die durch A und durch B erklärte Variation teilt sich nun einen gemeinsamen Anteil, und die drei Typen unterscheiden sich darin, wie sie mit diesem geteilten Anteil umgehen:
- Typ I weist die gesamte geteilte Variation demjenigen Term zu, der in der Formel zuerst steht.
- Typ II testet jeden Haupteffekt, nachdem der Beitrag der anderen Haupteffekte entfernt wurde, wobei Interaktionen ignoriert werden.
- Typ III testet jeden Haupteffekt, nachdem der Beitrag aller anderen Terme entfernt wurde, einschließlich Interaktionen.
Ein konkretes 2-mal-2-Beispiel
Um dies sichtbar zu machen, konstruieren wir einen kleinen unbalancierten Zwei-Faktor-Datensatz. Die beiden Faktoren diet und supp haben jeweils zwei Stufen, und die Zellbesetzungen sind bewusst ungleich:
set.seed(42)
dat <- tibble(
diet = rep(c("low", "high"), times = c(14, 10)),
supp = c(rep(c("A", "B"), times = c(10, 4)), # low: 10 A, 4 B
rep(c("A", "B"), times = c(3, 7))), # high: 3 A, 7 B
response = c(
rnorm(10, mean = 10, sd = 1.5), # low + A
rnorm(4, mean = 12, sd = 1.5), # low + B
rnorm(3, mean = 14, sd = 1.5), # high + A
rnorm(7, mean = 17, sd = 1.5) # high + B
)
) %>%
mutate(across(c(diet, supp), as.factor))
xtabs(~ diet + supp, data = dat) supp
diet A B
high 3 7
low 10 4Die Designmatrix ist deutlich unbalanciert: Die Kombination low diet + supplement A hat 10 Beobachtungen, während high diet + supplement A nur 3 hat. Wir fitten nun das Zwei-Faktor-Modell mit Interaktion:
mod <- lm(response ~ diet * supp, data = dat)Typ I hängt von der Termreihenfolge ab
Schauen wir zuerst, was stats::anova() tut. Wir fitten dasselbe Modell, vertauschen aber die Reihenfolge der beiden Faktoren in der Formel und vergleichen die beiden Typ-I-Tabellen nebeneinander:
Analysis of Variance Table
Response: response
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
diet 1 95.469 95.469 27.3858 4.031e-05 ***
supp 1 17.563 17.563 5.0381 0.03627 *
diet:supp 1 0.002 0.002 0.0006 0.98005
Residuals 20 69.722 3.486
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1anova(mod_sd)Analysis of Variance Table
Response: response
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
supp 1 61.275 61.275 17.5770 0.0004485 ***
diet 1 51.758 51.758 14.8470 0.0009915 ***
supp:diet 1 0.002 0.002 0.0006 0.9800473
Residuals 20 69.722 3.486
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Die Quadratsummen und p-Werte für diet und supp unterscheiden sich zwischen den beiden Tabellen, einzig aufgrund der Termreihenfolge. Welcher Faktor auch immer zuerst aufgeführt wird, “absorbiert” die geteilte Variation. Genau dieses Verhalten macht Typ I als Standard unattraktiv: Eine wissenschaftlich bedeutungslose Entscheidung (welcher Faktor zuerst geschrieben wird) verändert die berichtete Teststatistik.
Typ II und Typ III nicht
Im Gegensatz dazu erzeugt car::Anova() reihenfolgeunabhängige Tabellen:
Anova(mod_ds, type = "II")Anova Table (Type II tests)
Response: response
Sum Sq Df F value Pr(>F)
diet 51.758 1 14.8470 0.0009915 ***
supp 17.563 1 5.0381 0.0362658 *
diet:supp 0.002 1 0.0006 0.9800473
Residuals 69.722 20
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Anova(mod_ds, type = "III")Anova Table (Type III tests)
Response: response
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 597.21 1 171.3119 2.888e-11 ***
diet 24.95 1 7.1576 0.01454 *
supp 7.25 1 2.0785 0.16486
diet:supp 0.00 1 0.0006 0.98005
Residuals 69.72 20
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Die Typ-II- und Typ-III-Tabellen sind gleich, unabhängig davon, ob die Formel diet * supp oder supp * diet lautet. Die beiden Tabellen unterscheiden sich allerdings voneinander, weil Typ III jeden Haupteffekt für die Interaktion adjustiert, während Typ II das nicht tut.
Vergleich nebeneinander
Um die Unterschiede deutlich zu machen, sammeln wir die p-Werte für alle drei Typen in einer einzigen aufgeräumten Tabelle:
get_p <- function(model, term, type) {
tbl <- if (type == "I") {
broom::tidy(anova(model))
} else {
broom::tidy(Anova(model, type = type))
}
tbl %>% filter(term == !!term) %>% pull(p.value)
}
terms <- c("diet", "supp", "diet:supp")
types <- c("I", "II", "III")
crossing(term = terms, type = types) %>%
rowwise() %>%
mutate(p = get_p(mod_ds, term, type)) %>%
ungroup() %>%
pivot_wider(names_from = type, values_from = p,
names_prefix = "Type ") %>%
mutate(across(starts_with("Type"), \(x) round(x, 4)))# A tibble: 3 × 4
term `Type I` `Type II` `Type III`
<chr> <dbl> <dbl> <dbl>
1 diet 0 0.001 0.0145
2 diet:supp 0.98 0.98 0.98
3 supp 0.0363 0.0363 0.165 Man beachte, dass die Interaktionszeile (diet:supp) über alle drei Typen identisch ist - die Interaktion höchster Ordnung wird immer auf dieselbe Weise getestet. Die Unterschiede liegen in den Haupteffekten.
Die Falle der Kontrastkodierung bei Typ III
Es gibt noch einen Punkt, über den fast jeder stolpert, der zum ersten Mal auf die Typ-III-ANOVA trifft. Ein korrekter Typ-III-Test erfordert Summen-Kontraste (sum-to-zero) für die Faktoren im Modell. Der R-Standard ist contr.treatment (Referenzkodierung), und car::Anova(mod, type = "III") wird mit diesem Standard bereitwillig eine Tabelle erzeugen, die in Ordnung aussieht, deren Haupteffekt-p-Werte aber nicht das sind, was die meisten Anwender denken: Sie hängen davon ab, welche Stufe zufällig die Referenz ist.
Die Lösung besteht entweder darin, Summen-Kontraste global vor dem Fitten des Modells zu setzen, oder sie direkt an den Faktoren zu setzen. Der globale Umschalter ist:
Anova Table (Type III tests)
Response: response
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 3479.7 1 998.1784 < 2.2e-16 ***
diet 51.7 1 14.8209 0.0009994 ***
supp 17.1 1 4.9035 0.0385802 *
diet:supp 0.0 1 0.0006 0.9800473
Residuals 69.7 20
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Zum Vergleich hier derselbe Aufruf mit R’s Standard-Treatment-Kontrasten (wir schalten vorübergehend zurück):
Anova Table (Type III tests)
Response: response
Sum Sq Df F value Pr(>F)
(Intercept) 597.21 1 171.3119 2.888e-11 ***
diet 24.95 1 7.1576 0.01454 *
supp 7.25 1 2.0785 0.16486
diet:supp 0.00 1 0.0006 0.98005
Residuals 69.72 20
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Die Haupteffekt-Zeilen für diet und supp sehen zwischen den beiden Aufrufen sehr unterschiedlich aus. Die Version mit Treatment-Kontrasten testet, ob die Referenzzelle gleich null ist, was fast nie eine wissenschaftlich sinnvolle Frage ist. Nur die Version mit Summen-Kontrasten erzeugt den “durchschnittlichen Haupteffekt”, den Typ III liefern soll. Die Hilfeseite ?car::Anova ist bezüglich dieser Anforderung explizit.
Wenn man Quadratsummen vom Typ III benötigt, setzt man options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly")) vor dem Fitten des Modells, oder man verwendet contrasts = list(factor1 = contr.sum, factor2 = contr.sum) innerhalb von lm(). Das erneute Fitten des Modells nach dem bloßen Ändern der Option ist unverzichtbar - die Kontraste werden zum Zeitpunkt des Fittens in die Modellmatrix eingebacken.
Welchen Typ sollte man verwenden?
Es gibt keine einzelne Antwort, die jeder Situation gerecht wird, aber die folgenden Leitlinien decken die überwältigende Mehrheit angewandter Analysen ab:
- Für balancierte Daten spielt die Wahl numerisch keine Rolle. Typ I ist die einfachste Darstellung und vollkommen ausreichend.
- Für unbalancierte Daten mit ausschließlich Haupteffekten ist Typ II die statistisch trennschärfste Option und vermeidet die willkürliche Reihenfolgeabhängigkeit von Typ I. Langsrud (2003) gibt eine sorgfältige Begründung dafür, in diesem Fall Typ II gegenüber Typ III zu bevorzugen; der Kernpunkt ist, dass Typ II die Annahme keiner Interaktion ausnutzt (die man ohnehin trifft, wenn keine Interaktion im Modell ist), um mehr Freiheitsgrade zurückzugewinnen.
- Für unbalancierte Daten mit Interaktionen, die von wissenschaftlichem Interesse sind, ist Typ III in vielen Disziplinen die konventionelle Wahl (und der SAS-Standard, weshalb er so verbreitet ist). Er testet jeden Haupteffekt adjustiert für die Interaktion, was zur Interpretation “was ist der durchschnittliche Effekt von A, gemittelt über die Stufen von B” passt - aber nur mit Summen-Kontrasten (sum-to-zero).
- Für gemischte Modelle (z.B.
lmerTest::lmer) ist die Frage subtiler und wird üblicherweise über Satterthwaite- oder Kenward-Roger-Approximationen behandelt statt über die Wahl eines Quadratsummen-Typs. Diese werden im Mixed-Models-Material dieses Kurses behandelt.
Ein praktischer Workflow besteht darin, das Modell zu fitten, die Annahmen zu prüfen (siehe A1. Modelldiagnostik), dann standardmäßig Typ II zu berichten und nur dann zu Typ III zu wechseln, wenn die Interaktion sowohl vorhanden als auch wissenschaftlich bedeutsam ist. Was auch immer berichtet wird, der gewählte Typ und die Kontrastkodierung sollten im Methodenteil explizit angegeben werden, denn dasselbe Modell kann drei verschiedene ANOVA-Tabellen erzeugen.
- Langsrud (2003) - klare statistische Begründung dafür, Typ II gegenüber Typ III für unbalancierte Daten zu bevorzugen.
- Fox, J. and Weisberg, S. (2019), An R Companion to Applied Regression, 3rd ed. - Diskussion von Typ II und Typ III im Kontext des Pakets
car. Siehe auch?car::Anova. - Anova - Type I/II/III SS explained
- How to interpret Type I, II, and III ANOVA? (CrossValidated)
Balancierte Daten: Alle drei Typen stimmen überein. Sich um den Typ Gedanken zu machen, wird erst notwendig, sobald das Design unbalanciert ist.
stats::anova()ist Typ I und hängt von der Reihenfolge der Terme in der Formel ab. Zwei wissenschaftlich äquivalente Modelle können unterschiedliche p-Werte erzeugen.car::Anova()liefert Typ II und Typ III und ist reihenfolgeunabhängig.Typ III benötigt Summen-Kontraste (sum-to-zero). Man verwende
options(contrasts = c("contr.sum", "contr.poly"))vor dem Fitten, andernfalls sind die Haupteffekt-Tests nicht das, wonach sie aussehen.Standardempfehlung: Typ II für die meisten unbalancierten Designs ohne wissenschaftlich zentrale Interaktion, Typ III, wenn Interaktionen zentral sind. Stets angeben, welcher Typ und welche Kontraste verwendet wurden.
Literatur
Zitat
@online{schmidt2026,
author = {{Dr. Paul Schmidt}},
title = {A3. ANOVA-Typen (I, II, III)},
date = {2026-06-08},
url = {https://biomathcontent.netlify.app/de/content/lin_mod_exp/a3_anovatypes.html},
langid = {de}
}